Scrivere matematica: la notazione

di Piero Giuseppe Goletto

Cominciamo da qui, dallo scrivere matematica, a parlare di questa affascinante scienza. La matematica è il risultato di processi di astrazione in cui una fase importante è stata quella di associare al “numero”, frutto di un processo di conteggio, un simbolo. La scelta dei simboli, nella storia, è dipesa dai materiali usati per il conteggio e dalle possibilità dei materiali usati per la scrittura.

 La stessa scrittura sarebbe stata inventata dai contabili babilonesi per tenere nota di operazioni economiche troppo numerose per poter essere semplicemente ricordate. L’uso dei numeri emerge in due contesti: il contesto civile – e principalmente quello dei commerci – e il contesto amministrativo dello stato, che interessa sia le tasse sia la determinazione dei calendari che erano realizzate dagli astronomi di corte.

 Un numero si rappresenta combinando simboli diversi: le cifre. Nella nostra realtà pratica le cifre variano da 0 a 9 perché “ragioniamo in base 10”, ma i sumeri e i babilonesi usavano la base 60 (che abbiamo adottato per la misura del tempo e degli angoli); i maya usavano la base 20, di cui c’è traccia anche nella lingua francese: pensate al numero 80 che si scrive “quatre-vingts” (4 x 20).

 Noi ragioniamo in “base 10” perché questa base è stata introdotta dai Romani, nel tempo in cui dominavano l’Occidente; vero è, indubbiamente, che questa base è intuitiva perché abbiamo dieci dita. I numeri si possono rappresentare in due modi.

Il primo modo si chiama “notazione addittiva”. Occorre sommare tutti i simboli che rappresentano un numero per ottenerne il valore. Questo è il modo che usavano, ad esempio, gli antichi egizi; gli antichi

romani usavano questo sistema (ad esempio il simbolo CVII usa i simboli C = 100; V = 5; I = 1 per comporre il

numero 107) anche con una variante che prevede la sottrazione (come quando si calcola IV = 4: l’1 davanti

a V di 5 denota “un’unità ad arrivare a 5).

 Il secondo modo è la notazione posizionale. Scrivere un numero con notazione posizionale significa che il valore di ciascuna cifra è determinato dalla posizione dove essa è collocata. Il numero 2018 viene fuori da:

 2 x 1000 + 0 x 100 + 1 x 10 + 8 = 2018

 Notato niente? Avete visto lo zero? Lo zero è una cifra fondamentale in matematica perché è quella che ha permesso la notazione posizionale. Sono gli indiani che iniziano a scrivere lo zero alla fine del 6° secolo; con la diffusione presso gli arabi dei “numeri arabi” (quelli che usiamo oggi) l’uso dello zero passa dai contesti scientifici ai contesti commerciali.

I babilonesi, ad esempio, usavano una notazione parzialmente posizionale e simboli cuneiformi.

Usavano – come abbiamo accennato – un sistema di calcolo a base 60, che facilitava i calcoli scientifici; è da loro che deriva la nostra rappresentazione del tempo.Gli egizi svilupparono un sistema di numerazione in base 10 che associava a simboli gerolifici i valori dei numeri 

Il papiro di Rhind, che è una sorta di testo di aritmetica, propone una numerazione decimale con l’aggiunta di simboli speciali per le potenze di 10. In più sapevano rappresentare le frazioni attraverso un insieme di simboli derivati dall’occhio di Horus 

 I greci antichi, dal canto loro, utilizzavano tutte le lettere dell’alfabeto greco e tre lettere di quello fenicio. Le prime nove lettere indicavano i numeri da 1 a 9, le seguenti 9 rappresentavano le decine, da 10 a 90, e le restanti 9 lettere simboleggiavano le centinaia, da 100 a 900. Le migliaia venivano indicate con una barra posta alla sinistra della cifra, e le decine di migliaia scrivendo la cifra sopra una lettera M. 

 

La vera importanza della cultura matematica greca sta nella geometria euclidea e nell’introduzione del concetto di numero razionale; questo era un dogma basilare anche della scuola pitagorica, fondata a Crotone da Pitagora di Samo (580-500 a.C.). Faceva eccezione il rapporto tra la diagonale e il lato del quadrato, che indichiamo come radice quadrata di 2.

 Gli antichi romani usavano sette simboli: Il numero 1 veniva indicato con il simbolo I; il numero 5 veniva indicato con il simbolo V; il numero 10 veniva indicato con il simbolo X; il numero 50 veniva indicato con il simbolo L; il numero 100 veniva indicato con il simbolo C; il numero 500 veniva indicato con il simbolo D; il numero 1000 veniva indicato con il simbolo M. Usavano l’abaco ed effettuavano i calcoli servendosi di sassolini (calculus: da questa parola derivano i vocaboli “calcolo” e “calcolare” che ancora oggi usiamo). Il pallottoliere, che si regala ai bambini perché imparino a contare, è un abaco.

Dall’abaco a scacchiere, usato nelle Isole Britanniche, deriva il titolo del ministro delle finanze del Regno Unito: “Cancelliere dello Scacchiere”.

 

E’ un certo al-Khwarizmi, vissuto fra il 780 e l'850, a diffondere la nozione della cifra 0 ed il suo uso nei calcoli nel suo libro dal titolo Al-jabr. Egli coglie il significato degli studi del matematico indiano Brahmagupta e nome di al-Khwarizmi è reso immortale nel termine “Algoritmo” e il suo libro “Al- jabr” è l’origine del termine “Algebra”.

 

Brahmagupta usava una rappresentazione con caratteri brahmi e gli indiani pervennero alla notazione posizionale attraverso due passaggi. Anzitutto si riconobbe che il principio posizionale permetteva di usare le cifre che indicano le prime nove unità anche per descrivere i multipli di dieci. Il secondo passo fu l’introduzione di un simbolo per lo zero. Lo zero è lo spartiacque tra i numeri negativi (che nel mondo contabile rappresentano debiti) e i numeri positivi; è l’elemento neutro dell’addizione e l’elemento nullo della moltiplicazione.

Elemento neutro dell’addizione significa che aggiungendo 0 a un numero questo rimane immutato. Elemento nullo della moltiplicazione significa che moltiplicando per 0 qualunque numero si ottiene 0.

Non è possibile invece, senza ricorrere agli strumenti dell’Analisi Matematica, dividere un numero per 0.